达布中值定理借助辅助函数怎么证明？
编辑：自学文库
时间：2024年03月09日
证明这一定理时，可借助辅助函数来展开推导。
具体步骤是：首先，我们定义一个新函数g(x) = f(x) - mx，其中m = (f(b) - f(a))/(b - a)。
可以证明，若函数f满足达布中值定理的条件，那么g(x)在[a, b]上连续，且g(a) = g(b)。
接着，我们找到在[a, b]上g(x)的最大值和最小值，将其记为M和m。
由于g(x)是连续函数，根据魏尔斯特拉斯定理，存在一点x = c，使得g(c) = M。
根据定义可知，g(a) ≤ g(c) ≤ g(b)。
进一步展开推导可得到m ≤ g(c) ≤ M，即m ≤ f(c) - mc ≤ M。
将其整理可得m + mc ≤ f(c) ≤ M + mc。
再对其整理可得m(b - a) ≤ f(b) - f(a) ≤ M(b - a)。
最后，将f(b) - f(a) = m(b - a)代入可得m(b - a) ≤ f(c) - f(a) ≤ M(b - a)，即f(c) - f(a) ≥ 0。
这表明f(c) ≥ f(a)，即存在一点c使得f(c) = f(a)。
这就是达布中值定理的证明过程，通过引入辅助函数g(x)和利用其在闭区间上的性质，得到了中值存在的结论。