n的阶乘开n次方的极限等于多少？
编辑：自学文库
时间：2024年09月22日
根据级数的定义，我们可以将n的阶乘开n次方的极限表示为：lim(n->∞) n!(1/n)^n考虑到(1/n)^n的极限值为1/e，其中e是自然对数的底数。
我们可以将n的阶乘进行化简：n! = n(n-1)(n-2)...1当n趋向于无穷大时，我们可以近似地将n!表示为：n! ≈ n^n*e^(-n)*√(2πn)因此，根据以上公式可得：lim(n->∞) n!(1/n)^n = lim(n->∞) [n^n*e^(-n)*√(2πn)]*(1/n)^n = lim(n->∞) [(e*√(2πn))/e]^n = lim(n->∞) (e*√(2πn))^n/e^n由指数函数的性质可知，lim(n->∞) (e*√(2πn))^n = ∞，而e^n也为无穷大。
因此，该极限的值为无穷大。