jensen不等式是什么？
编辑：自学文库
时间：2024年03月09日
它的形式是：对于任意给定的凸函数f(x)，如果我们取一个随机变量X，并且有 E(X) = μ （X的期望等于μ），则对于任意一组实数a1, a2, ..., an以及非负权重w1, w2,..., wn（满足w1+w2+...+wn=1），Jensen不等式告诉我们： f(w1a1 + w2a2 + ... + wnan) ≤ w1f(a1) + w2f(a2) + ... + wnf(an) 这意味着，对于凸函数f(x)，将随机变量X的函数值取期望后与期望函数值的函数值进行对比，取期望后的函数值都会小于等于期望函数值的函数值。
换句话说，期望函数值绝对不会高于凸函数的取期望后的函数值。
这个不等式在数学分析、概率论、统计学等领域有广泛的应用。
它可以用于证明一些不等式，如柯西不等式和马尔可夫不等式。
同时，它也可以用于优化问题中，帮助我们判断一个函数是否是凸函数以及优化算法的设计。
总之，Jensen不等式是具有重要意义的不等式，在数学领域有着广泛的应用。