伯努利不等式的证明方法有哪些？
编辑：自学文库
时间：2024年03月09日
首先，我们可以证明当 n = 1 时不等式成立。
接下来，假设当 n = k 时不等式成立，即 (1 + x)^k ≥ 1 + kx。
然后我们证明当 n = k + 1 时不等式也成立。
通过展开 (1 + x)^k+1 = (1 + x)^k (1 + x)，我们可以得到 (1 + x)^k+1 = (1 + x) (1 + kx)。
然后我们可以利用分配律和归纳假设来化简不等式，最终得到 (1 + x)^k+1 ≥ 1 + (k+1)x。
这样通过数学归纳法，我们可以证明伯努利不等式对于所有正整数 n 成立。
2. 另一种证明方法是利用数学的几何表示。
我们可以将不等式中的 x 看作是一条射线上的一个点，而 (1 + x) 对应另一条射线上的一个点。
通过观察这两条射线的相对位置，我们可以发现当 x > 0 时，(1 + x)^n 必然位于 1 + nx 的右侧，而当 x 0 时，f'(x) > g'(x)，而当 x 0 时 f(x) 大于 g(x)，在 x