推导过程涉及到核物理学的一些概念和方程。
首先，假设一个放射性原子核的衰变速率与当前剩余原子核的数量成正比。
根据这个假设，可以得到一个微分方程 dN/dt = -λN，其中N表示剩余原子核数量，t表示时间，λ表示衰变常数。
为了解这个微分方程，可以对其进行分离变量、积分等处理。
最终得到 N(t) = N(0)e^(-λt)，其中N(0)表示初始原子核数量。
然后，定义半衰期T为使得剩余原子核数量减少一半所需的时间。
也就是当 t = T 时，N(T) = N(0)/2。
将这个条件代入上述公式，可以得到 e^(-λT) = 1/2，再对这个方程取自然对数，则有 -λT = ln(1/2)，进一步可得 λT = ln(2)。
最后，将衰变常数 λ 表示为 ln(2)/T，就得到了半衰期公式 T = ln(2)/λ。
这个公式能够帮助我们计算出放射性物质的衰变时间，并对核反应、医学诊断和放射性测量等领域有广泛的应用。