柯西不等式等号成立条件怎么推出来的？
编辑：自学文库
时间：2024年03月09日
要推导柯西不等式等号成立的条件，首先我们假设等号成立，即存在实数a和b，使得对所有的i，有ai * bi = xi * yi。
假设序列{x1, x2, ..., xn}是非零序列，我们可以令a = x1 / x2，然后对于所有的i>2，令ai = xi * (x1 / x2)。
同样地，我们可以令b = y1 / y2，然后对于所有的i>2，令bi = yi * (y1 / y2)。
根据等号成立的条件，我们有ai * bi = xi * yi，也就是ai * bi = xi * (x1 / x2) * yi * (y1 / y2)。
将ai和bi的定义代入，我们得到xi * (x1 / x2) * yi * (y1 / y2) = xi * yi，即 (x1 / x2) * (y1 / y2) = 1。
由于序列{x1, x2, ..., xn}和{y1, y2, ..., yn}都是非零序列，所以 x1 / x2 ≠ 0，y1 / y2 ≠ 0。
因此，等号成立的条件是 (x1 / x2) * (y1 / y2) = 1。
简言之，柯西不等式等号成立的条件是两个序列的比值恒为1，即 x1 / x2 = y1 / y2。