为什么矩阵的迹等于特征值的和？
编辑：自学文库
时间：2024年09月22日
一个n x n的矩阵A的迹(tr(A))定义为矩阵主对角线上所有元素的和。
特征值是矩阵A的满足方程det(A - λI) = 0的λ值，其中I是单位矩阵。
而根据特征值的定义，我们可以将矩阵写成特征值与特征向量的线性组合的形式。
假设λ1, λ2, ..., λn是矩阵A的特征值，v1, v2, ..., vn是对应的特征向量，则有：Av1 = λ1v1Av2 = λ2v2...Avn = λnvn考虑矩阵A的特征值分解（Eigenvalue Decomposition） A = PDP^(-1)，其中P是由特征向量构成的矩阵，D是由特征值构成的对角矩阵。
则我们有：D = P^(-1)AP我们将迹定义带入D的表达式中，可以得到：tr(D) = tr(P^(-1)AP) = tr(PP^(-1)A) = tr(A)同时，我们可以将D的表达式展开，得到：tr(D) = tr(P^(-1}AP) = tr(P^(-1)AP) = tr(P^(-1)(Av1)(v1^(-1))P + P^(-1)(Av2)(v2^(-1))P + ... + P^(-1)(Avn)(vn^(-1))P) = tr(P^(-1)(λ1v1)(v1^(-1))P + P^(-1)(λ2v2)(v2^(-1))P + ... +P^(-1)(λnvn)(vn^(-1))P) = tr(P^(-1)(λ1v1)(v1^(-1))P) + tr(P^(-1)(λ2v2)(v2^(-1))P) + ... + tr(P^(-1)(λnvn)(vn^(-1))P) = λ1tr(P^(-1)v1v1^(-1)P) + λ2tr(P^(-1)v2v2^(-1)P) + ... + λntr(P^(-1)vnvn^(-1)P) = λ1tr(P^(-1)IP) + λ2tr(P^(-1)IP) + ... + λntr(P^(-1)IP) = λ1tr(P^(-1)P) + λ2tr(P^(-1)P) + ... + λntr(P^(-1)P) = λ1 + λ2 + ... + λn因此，由特征值分解的性质可知，迹等于特征值的和，即tr(A) = λ1 + λ2 + ... + λn。