5的平方根是有理数吗为什么?
编辑:自学文库
时间:2024年03月09日
有理数是指可以表示为两个整数的比值的数,而5的平方根无法被表示为两个整数的比值。
这可以通过反证法来证明。
假设√5是有理数,即可以表示为两个整数的比值,即√5 = m/n,其中m和n是互质的整数。
根据方程两边平方的性质,我们可以得到5 = (m/n)^2 = m^2/n^2。
然而,这意味着5n^2 = m^2,即m^2是5的倍数,所以m也是5的倍数。
因此,可以将m表示为m = 5k,其中k是整数。
代入原方程,我们得到5n^2 = (5k)^2 = 25k^2。
然而,这意味着n^2 = 5k^2,即n^2是5的倍数,所以n也是5的倍数。
这与我们最初假设m和n是互质的矛盾,因此假设不成立。
所以,可以得出结论,5的平方根不是有理数。