几何布朗运动的期望推导?
编辑:自学文库
时间:2024年03月09日
在数学上,几何布朗运动由随机微分方程dX(t) = μX(t)dt + σX(t)dW(t)描述,其中μ是漂移项,σ是扩散项,dW(t)是布朗运动的微分。
为了计算几何布朗运动的期望,我们可以利用随机微分方程的解析解。
根据几何布朗运动的定义,我们可以将随机微分方程转化为一个常微分方程,然后通过求解该常微分方程来得到几何布朗运动的期望。
假设我们希望计算几何布朗运动的期望E(X(t)),我们可以通过将X(t)用指数形式表示,即X(t) = X(0)e^((μ-1/2σ²)t+σW(t))。
然后,我们可以取期望E(X(t)): E(X(t)) = E(X(0)e^((μ-1/2σ²)t+σW(t)))。
根据指数函数和期望的性质,我们可以对上式中的指数项取期望,得到: E(X(t)) = X(0)e^((μ-1/2σ²)t)E(e^(σW(t)))。
根据布朗运动的性质,我们知道E(e^(σW(t))) = e^(1/2σ²t)。
将其代入上式,我们得到: E(X(t)) = X(0)e^((μ-1/2σ²)t)e^(1/2σ²t) = X(0)e^(μt)。
因此,几何布朗运动的期望为E(X(t)) = X(0)e^(μt)。
这样,我们可以通过指定初始值X(0)和参数μ来计算几何布朗运动在时间t处的期望值。