伯努利不等式怎么证明?

编辑:自学文库 时间:2024年03月09日
伯努利不等式的证明可以通过数学归纳法进行。
  首先,我们知道伯努利不等式成立于指数大于1的情况下。
   假设对于任意的正整数 n,伯努利不等式成立,即 (1 + x)^n ≥ 1 + nx,其中 x > -1。
   接下来我们来证明 n + 1 的情况。
  我们有: (1 + x)^(n+1) = (1 + x)^n * (1 + x) 根据归纳假设,我们假设 (1 + x)^n ≥ 1 + nx 成立。
   那么我们可以将上式展开: (1 + x)^(n+1) = (1 + nx) * (1 + x) 本着反证法的思路,我们假设 (1 + nx) * (1 + x) -1,所以 nx^2 ≥ x。
  将这个结论应用到上式中: 1 + (n+1)x + nx^2 ≥ 1 + (n+1)x + x 化简可得: 1 + (n+1)x + x ≥ 1 + (n+1)x 这与我们的假设矛盾。
  所以假设不成立,因此我们证明了对任意正整数 n + 1,伯努利不等式也成立。
   综上,我们通过数学归纳法证明了伯努利不等式成立。