伯努利不等式怎么证明？
编辑：自学文库
时间：2024年03月09日
首先，我们知道伯努利不等式成立于指数大于1的情况下。
假设对于任意的正整数 n，伯努利不等式成立，即 (1 + x)^n ≥ 1 + nx，其中 x > -1。
接下来我们来证明 n + 1 的情况。
我们有： (1 + x)^(n+1) = (1 + x)^n * (1 + x) 根据归纳假设，我们假设 (1 + x)^n ≥ 1 + nx 成立。
那么我们可以将上式展开： (1 + x)^(n+1) = (1 + nx) * (1 + x) 本着反证法的思路，我们假设 (1 + nx) * (1 + x) -1，所以 nx^2 ≥ x。
将这个结论应用到上式中： 1 + (n+1)x + nx^2 ≥ 1 + (n+1)x + x 化简可得： 1 + (n+1)x + x ≥ 1 + (n+1)x 这与我们的假设矛盾。
所以假设不成立，因此我们证明了对任意正整数 n + 1，伯努利不等式也成立。
综上，我们通过数学归纳法证明了伯努利不等式成立。