柯西中值定理用于研究连续函数的平均变化率和瞬时变化率之间的关系。 它表明，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续且可导，在开区间(a, b)上可导，那么在开区间(a, b)内至少存在一个数c，使得函数在[a, b]上的平均变化率等于函数在(c)上的瞬时变化率。 这个定理在实际应用中常用于研究速度、坡度、流量等问题，通过找到中值点c，可以精确描述物理现象的变化规律。