卡方分布是一种连续概率分布，表示一组相互独立标准正态分布变量的平方和。
假设X1，X2，...，Xn是n个相互独立的标准正态分布随机变量，那么卡方随机变量Y的概率密度函数为：
f(y) = (1 / (2^(n/2) * Γ(n/2))) * y^((n/2) - 1) * e^(-y/2)
其中，Γ表示Gamma函数。
首先，我们来证明卡方分布的期望。
卡方分布的期望可以通过计算它的概率密度函数的一阶矩来得到。
进行计算可得：
E(Y) = ∫(0到∞) [y * (1 / (2^(n/2) * Γ(n/2))) * y^((n/2) - 1) * e^(-y/2)] dy
我们可以对这个积分进行变量代换，令u = y/2。
则积分变为：
E(Y) = ∫(0到∞) [2u * (1 / (2^(n/2) * Γ(n/2))) * (2u)^((n/2) - 1) * e^(-u)] * 2 du
化简可得：
E(Y) = 2 * (1 / (2^(n/2) * Γ(n/2))) * 2^n * ∫(0到∞) [u^(n/2) * e^(-u)] du
上式中的积分正好是Gamma函数的定义形式，故可简化为：
E(Y) = 2 * (1 / (2^(n/2) * Γ(n/2))) * 2^n * Γ(n/2 + 1)
再进一步简化的到：
E(Y) = n
所以，卡方分布的期望为n。
其次，我们来证明卡方分布的方差。
卡方分布的方差可以通过计算它的概率密度函数的二阶矩减去期望的平方来得到。
Var(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2
同样进行计算可得：
Var(Y) = ∫(0到∞) [y^2 * (1 / (2^(n/2) * Γ(n/2))) * y^((n/2) - 1) * e^(-y/2)] dy - n^2
我们可以对这个积分进行变量代换，令u = y/2。
则积分变为：
Var(Y) = ∫(0到∞) [4u^2 * (1 / (2^(n/2) * Γ(n/2))) * (2u)^((n/2) - 1) * e^(-u)] * 2 du - n^2
化简可得：
Var(Y) = 4 * (1 / (2^(n/2) * Γ(n/2))) * 2^n * ∫(0到∞) [u^(n/2 + 1) * e^(-u)] du - n^2
上式中的积分正好是Gamma函数的定义形式，故可简化为：
Var(Y) = 4 * (1 / (2^(n/2) * Γ(n/2))) * 2^n * Γ(n/2 + 2) - n^2
再进一步简化的到：
Var(Y) = 2 * (n + n^2)
所以，卡方分布的方差为2n。
综上所述，通过计算卡方分布的概率密度函数的一阶和二阶矩，我们可以得出卡方分布的期望为n，方差为2n。