二重积分极坐标rdr怎么来的？
编辑：自学文库
时间：2024年03月09日
在直角坐标系中，我们假设被积函数f(x, y)在某个区域D上连续，D是有界的闭区域。
将D分割成许多小矩形区域，其中每个小矩形的边长分别为Δx和Δy。
然后我们在每个小矩形中选取一个点(xi, yj)，并计算f(xi, yj)与ΔxΔy的乘积，再对所有小矩形的乘积求和即可得到对D的二重积分。
在极坐标系中，我们可以利用直角坐标系与极坐标系之间的转换关系来推导出二重积分极坐标rdr的形式。
极坐标系中，点(x, y)可以用极坐标表达为(r, θ)，其中r为点到原点的距离，θ为点与正x轴的夹角。
通过变量替换的方法，我们将二重积分直角坐标形式中的变量(x, y)替换为(r, θ)，并且要求变换的雅可比行列式不为0，即Jacobi行列式不为0。
这样我们可以得到新的被积函数f(r, θ)、新的小矩形区域ΔrΔθ以及新的积分区域D'。
然后，我们将二重积分直角坐标形式中的被积函数f(x, y)乘以Jacobi行列式，再乘以ΔxΔy，就得到了新的被积函数f(r, θ)乘以Jacobi行列式，再乘以ΔrΔθ。
然后我们对所有小矩形的乘积求和，即可得到对D'的二重积分。
综上所述，二重积分极坐标rdr的推导来自于直角坐标系二重积分形式的变量替换，并根据Jacobi行列式的相乘关系以及积分区域的变化，得到了新的被积函数f(r, θ)乘以Jacobi行列式，再乘以ΔrΔθ的形式。