二重积分极坐标公式怎么推导出来的？
编辑：自学文库
时间：2024年03月09日
在直角坐标系中，二重积分的面积元素 dA 等于 dx dy，其中 x 和 y 是直角坐标系中的变量。
而在极坐标系中，面积元素 dA 等于 r dr dθ，其中 r 和 θ 是极坐标系中的变量。
为了将直角坐标系中的二重积分转换为极坐标系中的积分，我们需要进行如下变换： x = r cosθ y = r sinθ 考虑到积分区域的变化，我们需要计算变换的雅可比行列式（即坐标变换的偏导数的乘积）： ∂(x,y)/∂(r,θ) = det[ (∂x/∂r, ∂x/∂θ), (∂y/∂r, ∂y/∂θ) ] 则由行列式的计算可得： ∂(x,y)/∂(r,θ) = det[ (cosθ, -r sinθ), (sinθ, r cosθ) ] = r cos²θ + r sin²θ = r 因此，dx dy = (∂(x,y)/∂(r,θ)) dr dθ = r dr dθ。
最终，二重积分在极坐标系中的公式可以表示为： ∬f(x,y) dA = ∬f(r cosθ, r sinθ) r dr dθ 这就是二重积分的极坐标公式的推导过程。