等价无穷小替换公式怎么推出来的？
编辑：自学文库
时间：2024年03月09日
它的推导过程可以通过泰勒级数展开式或利用等价无穷小定义进行证明。
首先考虑一个函数 f(x) 在 x=a 处的极限，如果该极限存在且非无穷大或无穷小，那么可以将 f(x) 进行展开。
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)(x-a)^2/2! + ... 我们使用 h=x-a，将 f(x) 展开成关于 h 的形式。
因为 h 趋于 0 的时候，展开后的高阶项会变得很小，可以忽略不计。
这时就可以使用等价无穷小进行替换。
当 h 趋于 0 时，(x-a) 的极限就是 0，所以我们可以将 f(h) 替换成等价无穷小 ε(h)。
这里的 ε(h) 是 h 的某个函数，满足在 h 趋于 0 时，ε(h) 也趋近于 0。
那么，f(x) = f(a) + f'(a)h + f''(a)h^2/2! + ... 可以写成： f(x) ≈ f(a) + f'(a)ε(h) 这就是等价无穷小替换公式的推导过程。
通过将无穷小项 ε(h) 替换原函数 f(h)，我们可以得到一个在 h 趋于 0 时仍然有效的近似式。
这样的近似式在数学和物理等领域中有广泛的应用。