狄利克雷函数在实数集上是不连续的。
狄利克雷函数的定义是，如果n是有理数，则函数值为1；如果n是无理数，则函数值为0。
由于有理数的集合是稠密的，即无论多小的区间，总存在一个有理数，所以在实数集上，无论取多小的邻域，都会同时包含有理数和无理数。
因此，对于任意的x，存在两个邻域，一个仅包含有理数，另一个仅包含无理数。
在这两个邻域内，狄利克雷函数的函数值不同，因此狄利克雷函数在实数集上是不连续的。
因为有理数和无理数构成实数集，而有理数和无理数在实数集上的分布特性不同，这导致了狄利克雷函数在实数集上的不连续性。
无论我们如何接近一个点，我们总能找到一个从有理数逼近这个点的序列和一个从无理数逼近这个点的序列，它们对应的函数值一定不相同。
这种分布的不规律性是狄利克雷函数不连续的根本原因。
因此，狄利克雷函数在实数集上不满足极限的定义，也就是不连续。
总之，狄利克雷函数在实数集上不连续是因为有理数和无理数具有不同的分布特性，无论我们如何接近一个点，都可以找到对应的有理数和无理数使得狄利克雷函数的函数值不同。
这种分布的不规律性导致了狄利克雷函数在实数集上的不连续性。