几何布朗运动公式推导？
编辑：自学文库
时间：2024年03月09日
其数学模型可以用以下公式表示：dS = μSdt + σSdz其中，dS表示资产价格变动的微小增量，S表示当前资产价格，μ表示资产价格的平均增长率，dt表示时间的微小增量，σ表示资产价格的波动率，dz表示随机变量，代表标准布朗运动的增量。
这个公式可以从随机微积分的角度推导出来。
首先，假设资产价格的增长率与当前价格成正比，即dS = aSdt，其中a为比例系数。
然后考虑到资产价格的增长也会受到随机波动的影响，引入一个随机变量dz，使得资产价格的增长率可以被表示为dS = aSdt + σSdz，其中σ为波动率。
接下来，根据随机微积分的定义，我们可以将dz表示为标准布朗运动的增量，即dz = N(0, dt)，其中N(0, dt)表示均值为0，方差为dt的正态分布。
将dz代入公式中，得到dS = aSdt + σSdz = aSdt + σSdN(0, dt)。
然后，利用泰勒展开式对右边的dN(0, dt)进行近似。
根据泰勒展开式，我们可以将dN(0, dt)表示为√dt乘以一个服从标准正态分布N(0, 1)的随机变量，记为dW。
将dN(0, dt)代替为√dt乘以dW，并简化公式，得到dS = aSdt + σS√dt dW。
最终，对于一个时间段为Δt的区间，可以将其分成n个微小区间，每个微小区间的时间长度为dt = Δt/n。
然后，将上述公式在每个微小区间内进行积分，得到资产价格变动的微小增量dS。
最后，累加所有微小增量，即可得到资产价格的变动量。
以上就是几何布朗运动公式的推导过程。
这个公式可以用来模拟资产价格的变动，对金融市场的风险管理、期权定价等领域具有重要意义。