几何平均值与算术平均值的关系证明？
编辑：自学文库
时间：2024年03月09日
对于任意一组正数 a1, a2, a3, ..., an，它们的算术平均值可以用公式 A = (a1 + a2 + a3 + ... + an) / n 表示，而它们的几何平均值可以用 G = (a1 * a2 * a3 * ... * an) ^ (1/n) 来表示。
证明这两者之间的关系，我们可以先将所有的正数进行对数转换。
对算术平均值 A 进行对数转换得到 log(A) = (log(a1) + log(a2) + log(a3) + ... + log(an)) / n，对几何平均值 G 进行对数转换得到 log(G) = (1/n) * (log(a1) + log(a2) + log(a3) + ... + log(an))。
我们可以观察到，上述两个公式中括号内的内容是相同的。
因此有 log(G) = (1/n) * log(A)。
通过进一步的变换得到 log(G) = log(A)^(1/n)。
我们可以将等式两边作为指数转换，得到 G = A^(1/n)。
所以，几何平均值 G 等于算术平均值 A 的 n 次方根。
这就是几何平均值与算术平均值之间的关系证明。