狄利克雷函数的性质怎么证明？

要证明狄利克雷函数的性质，我们可以使用数学归纳法。
  
首先，我们需要定义狄利克雷函数$d(n)$。
  
狄利克雷函数$d(n)$定义为：当$n$为正整数且$n$只有一个质因数时，$d(n)=1$；当$n$为正整数且$n$含有两个及以上不同的质因数时，$d(n)=0$。
  
首先，我们验证当$n=1$时，$d(1)=1$。
  
这是显然成立的，因为1是唯一一个不含质因数的正整数。
  
接下来，我们假设当$n=k$时，$d(k)=1$，其中$k$为正整数且只有一个质因数。
  
然后，我们考虑当$n=k+1$时，$d(k+1)$的取值。
  
根据定义，我们知道$k+1$要么只有一个质因数，要么有两个及以上不同的质因数。
  
如果$k+1$有两个及以上不同的质因数，那么根据定义，$d(k+1)=0$。
  
如果$k+1$只有一个质因数，我们需要考虑这个质因数是何等。
  
我们设$k+1=p$，其中$p$为质数。
  
我们可以发现，当$n=k+1$时，$d(n)$的取值与质因数$p$的个数有关。
  
如果$p$是第一个质因数，那么根据定义，$d(k+1)=1$。
  
如果$p$不是第一个质因数，那么$k=p-1$必然含有其他质因数，因此根据归纳假设，$d(k)=1$。
  
所以，无论$p$是第一个质因数还是其他质因数，$d(k+1)=1$。
  
综上，我们通过数学归纳法证明了狄利克雷函数的性质：当$n$只有一个质因数时，$d(n)=1$；当$n$含有两个及以上不同的质因数时，$d(n)=0$。
  
这个结论是成立的。