几何布朗运动的期望和方差推导过程？
编辑：自学文库
时间：2024年03月09日
首先，几何布朗运动满足随机微分方程：dX(t) = μX(t)dt + σX(t)dW(t)，其中dX(t)表示时间t时刻的变动，dt表示时间间隔，μ是均值增长率，σ是波动率，dW(t)是Wiener过程（随机变量的增量）。
根据几何布朗运动的性质，可以知道其解为X(t) = X(0) * exp((μ-σ^2/2)t + σW(t))。
期望是对随机变量的平均值，可以使用随机变量的概率密度函数求解。
对于几何布朗运动，概率密度函数满足随机微分方程：dP(x, t) = -((μ - σ^2/2) * x * ∂P/∂x + (σ^2/2) * ∂^2P/∂x^2)dt，边界条件为P(x,0) = δ(x - x0)，其中δ表示单位冲激函数。
可以通过解这个偏微分方程得到概率密度函数，然后计算期望。
具体的推导过程可能比较复杂，需要应用偏微分方程的求解技巧。
方差是表示随机变量的离散程度，可以通过计算随机变量与其期望之间的偏差的平方的平均值来求解。
对于几何布朗运动，可以通过计算E[(X(t) - E[X(t)])^2]来得到方差。
总结起来，几何布朗运动的期望和方差可以通过随机微分方程的解和概率密度函数的计算来推导。
具体的推导过程需要应用随机微分方程和偏微分方程的求解技巧。