几何布朗运动的期望推导？
编辑：自学文库
时间：2024年03月09日
在数学上，几何布朗运动由随机微分方程dX(t) = μX(t)dt + σX(t)dW(t)描述，其中μ是漂移项，σ是扩散项，dW(t)是布朗运动的微分。
为了计算几何布朗运动的期望，我们可以利用随机微分方程的解析解。
根据几何布朗运动的定义，我们可以将随机微分方程转化为一个常微分方程，然后通过求解该常微分方程来得到几何布朗运动的期望。
假设我们希望计算几何布朗运动的期望E(X(t))，我们可以通过将X(t)用指数形式表示，即X(t) = X(0)e^((μ-1/2σ²)t+σW(t))。
然后，我们可以取期望E(X(t))： E(X(t)) = E(X(0)e^((μ-1/2σ²)t+σW(t)))。
根据指数函数和期望的性质，我们可以对上式中的指数项取期望，得到： E(X(t)) = X(0)e^((μ-1/2σ²)t)E(e^(σW(t)))。
根据布朗运动的性质，我们知道E(e^(σW(t))) = e^(1/2σ²t)。
将其代入上式，我们得到： E(X(t)) = X(0)e^((μ-1/2σ²)t)e^(1/2σ²t) = X(0)e^(μt)。
因此，几何布朗运动的期望为E(X(t)) = X(0)e^(μt)。
这样，我们可以通过指定初始值X(0)和参数μ来计算几何布朗运动在时间t处的期望值。