几何布朗运动的期望和方差怎么求？
编辑：自学文库
时间：2024年03月09日
几何布朗运动满足以下随机微分方程：dX(t) = μX(t)dt + σX(t)dW(t)，其中X(t)是布朗运动，μ是漂移率，σ是波动率，dW(t)是标准布朗运动。
利用随机微分方程，我们可以对X(t)进行积分得到期望和方差的表达式。
首先，求解期望，即E[X(t)]。
对随机微分方程两边求期望： E[dX(t)] = E[μX(t)dt + σX(t)dW(t)] 根据随机微分方程的性质，E[dX(t)]=0，因为dX(t)是一个随机微分项。
因此有： 0 = E[μX(t)dt + σX(t)dW(t)] 整理可得： 0 = μE[X(t)]dt + σE[X(t)]E[dW(t)] 再次利用随机微分项的性质，E[dW(t)]=0，因此： 0 = μE[X(t)]dt 最后可解得： E[X(t)] = X(0)e^(μt) 接下来，我们求解方差。
将上述随机微分方程平方，并对两边求期望： E[dX(t)^2] = E[(μX(t)dt + σX(t)dW(t))^2] 展开并利用随机微分项的性质，可得： E[dX(t)^2] = E[μ^2X(t)^2dt^2 + σ^2X(t)^2dW(t)^2 + 2μσX(t)dt dW(t)] 同样，E[dW(t)^2] = dt，E[dt dW(t)] = 0，因此： E[dX(t)^2] = E[μ^2X(t)^2dt^2 + σ^2X(t)^2dW(t)^2] 化简得： E[dX(t)^2] = (μ^2 + σ^2X(t)^2)dt 最后，对上式两边进行积分： E[X(t)^2] - X(0)^2 = ∫(μ^2 + σ^2X(t)^2)dt 根据最初条件X(0) = X_0，化简为： E[X(t)^2] = X_0^2e^(2μt) 综上所述，几何布朗运动的期望为E[X(t)] = X(0)e^(μt)，方差为E[X(t)^2] = X_0^2e^(2μt)。