几何布朗运动的期望函数和协方差han函数？
编辑：自学文库
时间：2024年03月09日
期望函数指示了随机过程在每个时间点的平均值，协方差函数则指示了不同时间点间的相互关系。
对于几何布朗运动，其随机微分方程为：dX(t) = μX(t)dt + σX(t)dW(t)，其中μ是期望收益率，σ是波动率，dW(t)是布朗运动的随机微分项。
利用该随机微分方程，我们可以求得几何布朗运动的期望函数和协方差函数。
首先，考虑期望函数，我们可以对随机微分方程取期望值，由于dW(t)的期望为零，有：E[dX(t)] = μX(t)dt。
进一步，我们可以利用伊藤引理推导出d(X(t))^2的随机微分表达式，并对其取期望得到协方差函数。
具体计算如下： d(X(t))^2 = (dX(t))^2 + 2X(t)dX(t) = (σX(t)dW(t))^2 + 2X(t)(μX(t)dt + σX(t)dW(t)) 由于dW(t)的二次项期望为0，可以得到： E[d(X(t))^2] = E[(σX(t)dW(t))^2 + 2X(t)(μX(t)dt + σX(t)dW(t))] = E[σ^2X^2(t)(dW(t))^2 + 2X(t)μX(t)dt + 2σ^2X^2(t)dW(t)dt] = σ^2X^2(t)E[(dW(t))^2] + 2X(t)μX(t)dt 根据布朗运动的性质，我们知道E[(dW(t))^2] = dt，代入上述式子可以得到： E[d(X(t))^2] = σ^2X^2(t)dt + 2X(t)μX(t)dt = (σ^2X^2(t) + 2μX^2(t))dt 因此，协方差函数为Var(X(t)) = E[d(X(t))^2] - [E[dX(t)]]^2 = (σ^2X^2(t) + 2μX^2(t))dt - (μX(t)dt)^2 = (σ^2X^2(t) + μ^2X^2(t))dt。
综上所述，几何布朗运动的期望函数为E[X(t)] = X(0)e^(μt)，协方差函数为Var(X(t)) = (σ^2X^2(t) + μ^2X^2(t))dt。
这些函数描述了随机过程在不同时间点的平均值和不同时间点间的关联。