几何布朗运动的期望与方差？
编辑：自学文库
时间：2024年03月09日
几何布朗运动的期望与方差可以通过经典的随机微分方程求解。
假设在时间间隔Δt内，收益率为r(t)，则有以下关系式： dS(t) = μS(t)dt + σS(t)dW(t) 其中，μ是股票的均值增长率，σ是波动率，dW(t)是Wiener过程（布朗运动）。
利用随机微分方程，可以求得几何布朗运动的期望与方差。
首先，将dS(t)进行积分得到ΔS(t)=S(t)-S(t-Δt)，可以得到： ΔS(t) = μS(t)Δt + σS(t)[W(t)-W(t-Δt)] 对上式两边取期望，由于W(t)-W(t-Δt)是正态分布且均值为0的随机变量，因此期望为0，得到： E[ΔS(t)] = E[μS(t)Δt] = μS(t)Δt 由于几何布朗运动是连续状态过程，我们可以将Δt趋近于0，此时ΔS(t)趋近于dS(t)，得到： E[dS(t)] = μS(t)dt 这是关于几何布朗运动的期望。
而对于方差，利用布朗运动的性质可以得到： Var[dS(t)] = σ^2S(t)^2dt 这是关于几何布朗运动的方差。
综上所述，几何布朗运动的期望为μS(t)dt，方差为σ^2S(t)^2dt。